数学大帝(蔡泽禹)_第四百一十七章格罗滕迪克拓扑斯理论（1 / 2）_数学大帝最新章节免费阅读无弹窗

量子理论中认识论问题的核心是物理量值和测量结果两者之间的关系。更确切地说，核心是命题“量A有一个值，且该值是r（其中r是实数）”与命题“假如A的测量被建立，结果将是r”之间的关系。

回想一下经典物理的情形，上述关系是不成问题的。在经典物理中，人们假定在任一时刻每个物理量A将一个实数作为它的值，并且人们能够“理想化地”测量物理量A，即A能得到一个值是在测量之前便确定的。这种方式有时称作为“认识论作本体论的模型（epistemologymodelsontology）”。用数学语言说，量A是态空间Γ的实值函数。对于任何属于Γ的态，任一个量A均可被指派一个“定值”。于是，在某个确定时刻，系统的每一个命题均可确定其真伪。

在量子论中，上述值与测量结果的关系是有问题的。这时，态空间是希尔伯特空间H，物理量A需用自伴算子魦来表示。在1967年，科切恩（S.Kochen）和斯佩克（E.Specker）证明了一条著名的no-go定理，这条定理指出，如果希尔伯特空间的维数大于2，就无法指望所有的量子理论算子能指派一个实数作为它们的值。用数学语言讲就是，希尔伯特空间的所有谱集组成一个非布尔型与非分布的格，对诸如“魦属于Δ”这类命题作出真伪判断并不是一定可行的了。

伯克霍夫（G.Birkhoff）和冯·诺伊曼(J.VonNeumann）早年曾对这类“量子逻辑”问题作过广泛研究。新近，利用拓扑斯作为工具的研究，在某种意义上来讲，是一种反潮流的革命。拓扑斯虽然是非布尔型的，甚至排中律这个形式逻辑的基本规律也不一定成立，但它并不是非分布型的。

在量子引力情形下，认识论问题变得更加尖锐。许多学者认为，经典广义相对论的时空观念，诸如拓扑空间、连续流形、时空几何和微观因果性等都不能应用到量子引力。英国学者艾沙姆(C.J.Isham）指出：“人们应当怀疑量子理论应用到引力的可能性问题，尽管流行的量子引力研究或多或少采用了标准的量子理论研究方式，但存在着某种先验论的危险性。时空的经典想法是不假思索地运用到量子理论中去的，这会导致范畴类型上的差错。当人们试图应用量子理论到量子引力中去时，这些概念是不适合的。”

在传统的物理理论公式中，人们普遍采用实数。这是出于何种缘由呢？表面上看，可能存在三条理由：实数是物理量的值；时空是连续的；概率的值是实数。其实，这些似乎显而易见的理由并不成立。

传统的物理大厦依赖于物理量的值的计算，而这些计算已得到高度发展（如泛函分析和微分几何等数学分支）。但是，传统物理理论的成功只不过证明了连续的“仪器效应”罢了。可用一个例子来说明。长度是一个物理量，如果先验地认为它是连续量的话，那么其他的物理量就可以用实数模型化了。因为对一个物理量的测量，总能约化到在空间中某种类型的仪器指针的值。于是，问题就转到为什么要对时空采用实数模型？或者说，是否有一种公认的理由可以将“仪器效应”分离掉？答案是否定的，并不存在一种先验的理由说明空间是连续的。将时空非连续的可能性反映到物理理论中去，是拓扑斯理论的关键之处。

至于概率为什么应该是实数的问题更值得探讨。概率由测量序列的结果的相对频率（为有理数）决定，实数是相对频率的无限序列的极限引起的。许多学者指出，概率为实数是一种生理学事实的理想化，是一种理性的规范。有时，人们可以认为某种倾向会比另一种倾向大，但是在很多情形下“倾向性”是不可比拟的，后者将导致概率函数的值域是偏序集。

连续时空观的基础是“点”的概念，在拓扑斯理论中，则以场所（locale）来取代点的概念。为此，可以先将点的概念让位于区域（region）的概念。塔斯基（AlfredTarski）早年曾做过“保守”线路的工作，他首先提出区域概念作为第一性，点概念作为第二性的方案。塔斯基先列出了区域的公理，再由区域构造点，并使这些点具有3维欧几里得空间的一些熟知性质。例如，可以把点构造成区域序列的形式，每个区域含在前一个区域之中，并且它们的“宽度”趋于零。但是，利用区域取代点并不一定要采用这种“保守”的线路。非“保守”的线路是用公理定义区域，并彻底替代点的概念。事实上，任何拓扑空间均能构造一个场所，后者是一个推广的布尔代数，它们不必具有排中律，由此提供直觉逻辑的一个自然代数结构。由场所定义的区域理论不是“保守的”——它推广了拓扑空间的概念，允许区域簇不组成点。

拓扑斯理论是范畴的一种特别类型。范畴由对象(object）及射(arrow）组成。一个明显的例子是群范畴，其中对象是群，射f：G1→G2是从G1到G2的群同态。在任何拓扑斯理论中，存在着一个推广的子集簇概念，即给定对象的子对象簇概念，子对象簇是一个场所。从而可以用拓扑斯理论来替代诸如连续流形作为描述时空的数学。

云岗和龙门的石窟之所以价值连城，在于它们似乎凝固了历史，为人们提供了时间停滞的错觉。但是时间并不会真的停顿。一尊雕像看起来每天一样，其实每天都会有点不同。雕像并不是一个永不变化的物体，它是一种过程，一种变化缓慢的过程。在世界上存在的并不是物体和过程这两样东西，而只是相对快和相对慢的过程。

设想人们想要描述一个特定的粒子，比如说电子。在牛顿模式的描述中，人们可以描述在一个特定的瞬间它是什么：它位于空间的何处，它的质量和电荷是多少，等等。这称为是描述粒子的“状态”。在这种描述中是没有时间的。在牛顿世界中，时间是一个可选的部分。一旦人们已经充分地描述某些东西是怎样的，那么人们就“打开”时间开关并且描述它如何变化。为了验证一种理论，人们进行一系列的测量。每一次的测量应该揭示凝固在某一瞬间的粒子状态。一系列测量就如同一系列的相片——凝固的瞬间。

牛顿物理中状态的概念和雕像、相片一样，均有凝固瞬间的错觉。这导致世界是由物体组成的假象。假如这确实是这个世界的运行方式，那么对某事的首要描述将是它的“如何”，而它的变化将是次要的。变化只不过是某事如何的一种变更。但是，相对论和量子理论都表明：这个世界是一个过程史，运动和变化是首要的。除非是在一个非常近似和暂时的意义上，没有东西是“是”。某事是怎样的，或者它的状态是什么，是一种“停滞”的假象。对于某些目的，它可能是有用的。在新物理学中，“过程”比“停滞”更重要更优先，这就要采用新的语汇。事实上，已有一种合适的简洁的语言可用，这就是拓扑斯的语言。

从这个新的观点来看，宇宙由大量事件组成，一个基本事件可被看成是过程的最小部分，是变化的最小单位。但是，不要认为事件是发生在另外的静态物体上的变化。它只是一个变化，如此而已。

事件的宇宙是一个关联的宇宙，它的所有特征都可根据事件之间的关系来描述。两个事件之间可具有的最重要的关系就是因果关系。这与人们听故事时关注的因果关系是相同的。若一个事件A是另一事件B的产生所必需的，则A是B的部分起因。若A没有发生，B就不可能发生。对此可说，事件A是对事件B有贡献的原因。一个事件可能有超过一个有贡献的原因，一个事件也可能对超过一个的未来事件有贡献。